In diesem Artikel besprechen wir das Black-Scholes-Modell im Detail und betrachten die Annahmen und Bewertungen, die auf der Formel basieren.
Optionen sind komplexe Finanzinstrumente und mit erheblichen Risiken verbunden. Anleger sollten sorgfältig prüfen, ob sie für ihre Anlageziele und ihre Risikobereitschaft geeignet sind. Zudem sollten Anleger ihre Kenntnisse über den Optionsmarkt und Handelsstrategien vertiefen, bevor sie mit dem Optionshandel beginnen.
Inhalt
Black-Scholes-Modell
Der Begriff Black and Scholes bezieht sich auf drei Konzepte innerhalb der Finanzmathematik. Wir unterscheiden das Black Scholes-Modell, die partielle Black-Scholes-Differenzialgleichung und die abgeleitete Black Scholes-Formel. Diese Konzepte wurden 1973 von den Wissenschaftlern Fischer Black und Myron Scholes entwickelt.
Das Black & Scholes-Modell ist ein mathematisches Modell für den Finanzmarkt, der Derivate einbezieht. Aus der parabolischen partiellen Differenzialgleichung im Modell, der sogenannten Black-Scholes-Gleichung, kann man die Black Scholes-Formel ableiten. Diese Formel liefert eine theoretische Schätzung des Preises europäischer Optionen. Dieses Modell zeigt auch, dass die Option angesichts des Risikos des Wertpapiers und seiner erwarteten Rendite einen einzigartigen Preis hat.
Kurz gesagt, die oben genannten Personen haben eine Formel entwickelt, mit der Optionspreise berechnet werden können. Später wurde das Modell von Merton weiterentwickelt, weshalb es manchmal auch als Black-Scholes-Merton (BSM)-Modell bezeichnet wird. Für ihre Arbeit erhielt Myron Scholes 1997 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften, doch Black war zu diesem Zeitpunkt bereits verstorben.
Annahmen des Black Scholes-Modells
Das Black-Scholes-Modell geht davon aus, dass der Markt aus mindestens einem riskanten Vermögenswert besteht, normalerweise einer Aktie. Darüber hinaus besteht der Markt auch aus einem risikofreien Vermögenswert, beispielsweise Bargeld oder einer Staatsanleihe.
Für den riskanten Vermögenswert werden dann folgende Annahmen getroffen:
- Der Effekt zeigt einen stochastischen Prozess. Das heißt, der Effekt muss die Random-Walk-Theorie erfüllen. Genauer gesagt: die geometrische Brownsche Bewegung (GBM).
- Das betreffende Wertpapier zahlt keine Dividenden.
- Es handelt sich um ein europäisches Derivat, d. h. es gibt nur einen Zeitpunkt, zu dem eine Auszahlung ( Settlement ) erfolgen kann.
Für den „risikofreien“ Vermögenswert (Bargeld oder Staatsanleihe) gehen wir von Folgendem aus:
- Geld kann zu einem gleichbleibenden Zinseszinssatz geliehen und verliehen werden, der über die Zeit konstant bleibt.
- Wir können Aktien für jeden Betrag ohne Handelsgebühren kaufen und verkaufen.
- Möglichkeit, Bargeld in beliebiger Höhe, auch in Bruchteilen, zu einer risikofreien Gebühr zu leihen und zu verleihen.
- Der Markt bietet keine Arbitrage-Möglichkeiten.
Mit dem oben genannten Modell zeigten Black und Scholes, dass es für europäische Call- und Put-Optionen möglich ist, eine abgesicherte Position zu schaffen. Diese Absicherung besteht aus einer Long-Position in der Aktie und einer Short-Position in der Option, deren Wert nicht vom Preis der Aktie abhängt.
Ihre dynamische Absicherungsstrategie führte zu einer partiellen Differenzialgleichung, die den Preis der Option bestimmte. Aus dieser Gleichung leitet sich die Black Scholes-Formel ab.
Bewertung von Optionen mit der Black & Scholes-Formel
Die Preise von Optionen werden daher nach der Black-Scholes-Formel ermittelt. Die Formel verwendet Aktienkurse, Optionsausübungspreise, Zeit, Volatilität und erwartete Zinssätze. Lediglich die erwartete Volatilität lässt sich nicht direkt am Markt beobachten. Dieser ergibt sich in der Regel aus dem Preis anderer Optionen. Im Folgenden erklären wir kurz die Formel.
- C = Call-Preis (Preis des Calls)
- N = kumulative Verteilungsfunktion der Normalverteilung
- St = Spotpreis des Vermögenswerts (aktueller Preis)
- K = Ausübungspreis (Strike Price)
- r = risikofreier Zinssatz
- t = Zeit bis zum Ablauf
- σ = Volatilität des Vermögenswerts (Volatilität des Basiswerts)
Welchen Nutzen hat das Black Scholes-Modell für Optionsinvestoren?
Die Bewertung von Optionen ist mittlerweile elektronisch geregelt. Die Optionspreise auf Ihrem Bildschirm werden nach dem Black-Scholes-Modell berechnet. Intelligente Computer berechnen ständig den Wert von Optionen anhand verschiedener Variablen. Dadurch wurde der Optionshandel transparent und für den Privatanleger zugänglich.
Die Kernidee des Modells besteht darin, Optionen durch den Kauf und Verkauf des zugrunde liegenden Vermögenswerts in genau den richtigen Mengen abzusichern und so das Risiko zu eliminieren. Diese Art der Absicherung wird als „kontinuierlich überarbeitete Delta-Absicherung“ bezeichnet und bildet die Grundlage für komplexere Absicherungsstrategien. Diese Strategien sind sehr komplex und werden typischerweise von großen Investmentbanken und Hedgefonds eingesetzt.
Wofür liefert das Black-Scholes-Modell eine theoretische Schätzung?
Das Black-Scholes-Modell bildet einen theoretischen Rahmen zur Bewertung von Optionen. Die daraus abgeleitete Black-Scholes-Formel liefert in ihrer klassischen Form eine theoretische Preisschätzung für europäische Optionen auf Basiswerte ohne Dividendenzahlung. Zu den wesentlichen Einflussfaktoren zählen der Kurs des Basiswerts, der Ausübungspreis, die Restlaufzeit, die Volatilität und der risikofreie Zinssatz.
Von welcher Annahme zum zugrunde liegenden Wertpapier geht das Black-Scholes-Modell aus, die in der Praxis nicht immer zutrifft?
Das Black-Scholes-Modell geht in seiner ursprünglichen Form davon aus, dass das zugrunde liegende Wertpapier während der Laufzeit der Option keine Dividenden ausschüttet. Zahlt die zugrunde liegende Aktie tatsächlich Dividenden, muss dies bei der Bewertung berücksichtigt werden, beispielsweise durch entsprechend erweiterte Varianten des Modells.
Welcher wichtige Einflussfaktor des Black-Scholes-Modells lässt sich nicht direkt am Markt beobachten?
Die für die zukünftige Laufzeit einer Option relevante Volatilität des Basiswerts lässt sich nicht direkt beobachten und muss daher geschätzt werden. In der Praxis wird häufig die implizite Volatilität betrachtet. Sie wird aus dem beobachteten Marktpreis einer Option mithilfe eines Optionspreismodells zurückgerechnet und gibt an, welche Volatilitätsannahme mit diesem Marktpreis vereinbar ist.
Welche Rolle spielt das Black-Scholes-Modell im heutigen Optionshandel?
Das Black-Scholes-Modell dient als theoretischer Referenzrahmen für die Bewertung von Optionen und die Analyse ihrer Risikoeigenschaften. Die tatsächlich am Markt beobachteten Optionspreise entstehen jedoch durch Angebot und Nachfrage und werden nicht vom Modell festgelegt. Mithilfe von Optionspreismodellen lassen sich aus Marktpreisen unter anderem die implizite Volatilität sowie Risikokennzahlen wie die Options-Griechen ableiten.
Worauf beruht die grundlegende Absicherungsidee, auf der das Black-Scholes-Modell aufbaut?
Eine zentrale Idee hinter dem Black-Scholes-Modell besteht darin, eine Optionsposition mit einer Position im zugrunde liegenden Basiswert zu kombinieren und diese fortlaufend anzupassen. Durch dieses dynamische Delta-Hedging soll die Sensitivität des Gesamtportfolios gegenüber kleinen Kursbewegungen des Basiswerts reduziert beziehungsweise theoretisch neutralisiert werden. Da sich das Delta im Zeitverlauf verändert, muss die Absicherung regelmäßig angepasst werden. Andere Risiken, etwa durch Veränderungen der Volatilität oder sprunghafte Kursbewegungen, werden dadurch nicht automatisch beseitigt.
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